“三角公式”微专题 | 同角关系及给值求值

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三角函数复习系列之一

三角函数是中学数学不可或缺的内容，很多时候，三角函数已经成为我们解决数学问题的一种有效手段。而在三角函数的应用中，能否熟练掌握三角公式的变化技巧，不仅至关重要，也是许多学生感觉最无助的。

本文从同角关系出发，介绍三角变换的思路、技巧，以及基本题型“给值求值”题的处理思路，以期能对学生有所助益。

1

同角关系

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平方关系

公式点评：平方关系可以实现同角的不同三角函数值之间的相互转换，同时，平方关系也是三角换元的基本工具，在代数变形中有着重要作用。

老师提醒

由一个角给定的某一三角函数值，求其它三角函数值，我一般还是主张用第二种方法，干净简洁！只是，同样要注意正负号的选择，遵循先定正负、后求绝对值的原则。

老师提醒

“有根号的去根号”，这是代数变形的基本原则，那么，三角换元无疑是去根号的有力武器之一。在三角函数中，三角换元主要的出处有两处：第一就是大家所熟知的方法一（平方关系）。但其实，第二种换元的方式也是常见的，它是利用了三角函数的有界性。

商数关系

公式点评：商数关系是建立同角“弦”、“切”关系的重要媒介，所谓的“切化弦”及“弦化切”指的就是它的应用。

老师提醒

“弦化切”要求分式为齐次式。转化过程中，“1”的替换技巧就显得尤为重要。相对而言，方法二可能学生更乐于接受。

但不论用何种公式进行变换，其目的都是实现函数中“角”与“名称”的统一，至于采用何种方式，取决于自己对三角公式的熟练程度，以及求值域过程中的代数变形能力。

老师提醒

2

基本题型：给值求值

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老师提醒

三角变换其实说到底就是“角”的变换，因为角之间存在一定的关系，函数值之间才会有一定联系。所以这种给值求值题，从角的关系上着手观察，总是最佳方案。

老师提醒

这种给值求值，最容易出错的应该还是在求条件角其它的三角函数值时，角的范围的确定。当然，条件角与所求角关系的寻找，才是至关重要的。

老师提醒

 一般来说，已知角与所求角的关系，都是以三角公式为依托，因此在尝试寻找关系时要充分好利用这一特点，以它们的和、差、倍、半是否能得到特殊角为突破口。

本题中利用诱导公式建立两种角的关系，是非常值得肯定的。

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